题目内容
对定义域分别是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x）.规定：函数h（x）=
（1）若函数f（x）=
，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+a），其中a是常数，且a∈［0，π］，请设计一个定义域为R的函数y=f（x）及一个a的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明.
解：（1）由已知
h(x)=
（2）当x≠1时，h（x）==x-1+
+2.
若x＞1，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立.
若x＜1，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立.
∴函数h（x）的值域是（-∞，0］∪{1}∪［4，+∞）.
（3）解法1：令f（x）=sin2x+cos2x，a=
,
则g（x）= f（x+a）=sin2（x+
）+cos2（x+
）=cos2x-sin2x,
于是h(x)=f(x)·f(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.
解法2：令f（x）=1+
sin2x，a=
，
则g（x）=f（x+a）=1+
sin［2（x+
）］=1-
sin2x，
于是h（x）=f（x）·f（x+a）=（1+sin2x）（1- 
sin2x）=1-2sin22x=cos4x.
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