Question

设函数f(x)=

1

2

x2ex在区间[-2，2]上满足f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为

m＞2e²

．

Answer 1

分析：求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间，再令导函数等于0求出根，然后求出根对应的函数值及区间的端点对应的函数值，求出f（x）的值域，得到m的范围．

解答：解：f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)…（2分）
令

ex

2

x(x+2)＜0得x＞0或x＜-2
∴f（x）的单增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）；
单减区间为（-2，0）．…（6分）
令 f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)=0
∴x=0和x=-2，…（8分）
∴f(-2)=

2

ex

，f(2)=2e2，f(0)=0
∴结合函数的单调性得到：f（x）∈[0，2e²]…（11分）
∴m＞2e²
则实数m的取值范围为m＞2e²…（12分）
故答案为：m＞2e²

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，解决不等式恒成立的问题，一般分离参数转化为求函数的最值．