Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，且OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求点N到平面OCD的距离．

Answer 1

分析：（1）取OB的中点E，连接ME，NE，由ME∥AB，AB∥CD，知ME∥CD，由此能够证明MN∥平面OCD．
（2）点N到平面OCD的距离，即为A点到平面OCD距离的一半．作AP⊥CD于P，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，由AP⊥CD，OA⊥CD，知CD⊥平面OAP，AQ⊥CD，由AQ⊥OP，知AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，由此能求出点N到平面OCD的距离．

解答：解：（1）取OB的中点E，连接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∵NE∥OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．（4分）
（2）点N到平面OCD的距离，即为A点到平面OCD距离的一半（6分）
作AP⊥CD于P，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，AQ⊥CD，
∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

4+1- 1 2

=

3 2

2

，
AP=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2× 2 2

3 2 2

=

2

3

，
所以N到平面OCD的距离为

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，求点到平面的距离，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．