Question

已知A，B分别是椭圆C₁：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C₂：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
（I）若P（），Q（，1），求椭圆C_l的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把点P的坐标代入椭圆方程，点Q的坐标代入双曲线方程，两式联立后可求得a²与b²的值，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设出P、Q的坐标，由两点式直接写出直线AP，BP，AQ，BQ的斜率，把P、Q的纵坐标分别用横坐标表示，代入k₁•k₂+k₃•k₄后整理即可得到结论；
（Ⅲ）假设△PMN能为正三角形，利用平面几何知识可得到∠PAN=30°，∠PBA=30°，从而得到点P位于椭圆的短轴的两个端点时△PMN能为正三角形．
解答：（Ⅰ）解：∵P（）在椭圆上，Q（，1）在双曲线上，
则，
①+②×3得：，a²=5，
把a²=5代入①得，b²=4．
所以椭圆C_l的方程为；
（Ⅱ）证明：由A（-a，0），B（a，0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则，，，
k₁•k₂+k₃•k₄=
=
∵设P（x₁，y₁）在椭圆上，Q（x₂，y₂）在双曲线上，
∴，
则k₁•k₂+k₃•k₄===．
所以k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）假设△PMN是正三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
又∵MN⊥x轴，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，
∴△PAB为等腰三角形，∴点P位于y轴上，且P在椭圆上，
∴点P的坐标为（0，±b），
此时，
即a=．
综上，当a=，且点P的坐标为（0，±b）时，△PMN为正三角形．
点评：本题是圆锥曲线的综合题，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，训练了学生的整体运算能力，考查了平面几何知识在圆锥曲线问题中的应用，是有一定难度题目．