题目内容

已知A，B分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的左右顶点，F1是椭圆C的左焦点，|AF1|=2-
3
，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上异于A，B的任意一点，且PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得|HP|=|PQ|，连接AQ，并延长AQ交直线l：x=2于M点，N为MB中点，求
OQ
•
QN
的值，并判断以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN的位置关系．
分析：（1）依题意，可求得a与c，从而可得椭圆C的方程；
（2）设点P（x0，y0），依题意，可知H（x0，0）和Q（x0，2y0），知A（-2，0），可得直线AQ方程，x=2与直线l交于M（2，
8y0
x0+2
），MB的中点为N（2，
4y0
x0+2
），可求得向量
OQ
与
NQ
的坐标，利用向量的数量积可证
OQ
⊥
NQ
，从而可判断出以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN相切．
解答：解：（1）e=
c
a
=
3
2
，|AF1|=2-
3
=a-c…2
∴a=2，c=
3
，
∴椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
1
=1；…（4分）
（2）设点P（x0，y0），
x
2
0
4
+
y
2
0
1
=1…（5分）
∵|HP|=|PQ|，得H（x0，0）和Q（x0，2y0），…（6分）
又A（-2，0），Q（x0，2y0），得直线AQ方程l为y=
2y0
x0+2
（x+2）…（7分）
x=2与直线l交于M点，M（2，
8y0
x0+2
），MB的中点为N，则N（2，
4y0
x0+2
）…（8分）
OQ
=（x0，2y0），
NQ
=（x0-2，
2x0y0
x0+2
）…（9分）
OQ
•
NQ
=x0（x0-2）+2y0•
2x0y0
x0+2
=x0（x0-2）+
x0(4-
x
2
0
)
x0+2
=x0（x0-2）+x0（2-x0）=0…（11分）
∴
OQ
⊥
NQ
判断得出以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN相切．…（12分）
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查数量积的坐标表达式的应用，突出综合运算能力的考查，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求
sinA+sinB
sinC
的值．
已知A，B分别是椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
（I）若P（
5
2
，
3
），Q（
5
2
，1），求椭圆Cl的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．
已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.

（本题14分）已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P ）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是椭圆上异于长轴端点的任一点，对于△ABC，求的值。

 

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