Question

已知△ABC的三个顶点在半径为1的球面上，且AB=1，BC=

3

．若A、C两点的球面距离为

π

2

，则球心O到平面ABC的距离为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：先求得AC的长，由AB=1，BC=

3

，AC=

2

，我们易判断出△ABC为以A为直角的直角三角形，根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，我们可以求出截面的半径，再根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球心O到平面ABC的距离．

解答：解：∵A、C两点的球面距离为

π

2

，
∴AC=

2

∵AB=1，BC=

3

，AC=

2

，
∴△ABC为以A为直角的直角三角形
∴平面ABC截球得到的截面圆半径r=

1

2

BC=

3

2

∴球心O到平面ABC的距离d=

R2-r2

=

1

2

故选C．

点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R²=r²+d²．