Question

【题目】已知等差数列中，，公差；数列中，为其前项和，满足．

（1）记，求数列的前项和；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）设数列满足数列的前项积，若数列满足，且，求数列的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为．

【解析】

试题分析：（1）由，得到，即可利用裂项相消求解数列的和；（2）根据数列的和的关系，得出，即可证明数列为等比数列；（3）由，进而得出，由，得到当时， 单调递减，当时，单调递增，但当时，每一项均小于，即可解数列的最大值．

试题解析：（1）∵，∴，

∴．．．．．3分

（2）∵，∴，∴时，∴ ，

∵符合上式，∴，故数列是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）∵，∴，当时，

，又符合上式，

∴；∵，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，但当时，每一项均小于0，

所以的最大值为．．12分