题目内容
【题目】已知圆:
和定点
,
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线交
于点
,设动点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)过点作直线
与曲线
相交于
,
两点(
,
不在
轴上),试问:在
轴上是否存在定点
,总有
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,定点
【解析】
(1)由题可得圆心为
,由
可推出
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可;
(2)设存在点满足题意,当
不存在时显然成立,当
存在时,设直线
为
,联立直线方程和椭圆方程,可得
,利用韦达定理得到
的关系,由
可知
,利用斜率公式整理求解即可
(1)由题,圆心为
,半径
,
由垂直平分线的性质可知,所以
,
所以由椭圆定义可知轨迹是以
、
为焦点的椭圆,
所以,即
,
因为,所以
,
所以轨迹方程为:
(2)存在,
设存在点满足题意,
当不存在时,由椭圆的对称性,
轴上的点均符合题意;
当存在时,设直线
为
,
联立,消去
得
,
设,
,
则,
,
因为,则
,
所以,即
,
所以,
则,
所以,即
,
所以当时,无论
为何值,都满足题意,
所以存在定点,总有
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