题目内容
下列命题：
①若
与
共线，则存在唯一的实数λ，使
=λ
；
②空间中，向量
、
、
共面，则它们所在直线也共面；
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．
=
+
+
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中正确的命题是______．
①若
| a |
| b |
| b |
| a |
②空间中，向量
| a |
| b |
| c |
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．
| OM |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OC |
上述命题中正确的命题是______．
①中的
≠
这一条件缺少，于是①错．
对于②，因为向量可以任意平移，可知②错；
③当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，则PO⊥BC，进而BC⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③对；
④中A、B、C、M四点共面．
等式
=
+
+
两边同加
，
则
（
+
）+
（
+
）+
（
+
）=
，
即
+
+
=
，
=-（
+
）则
、
、
共面，
又M是三个有向线段的公共点，
则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
故④是真命题．
故答案为：③④
| a |
| 0 |
对于②，因为向量可以任意平移，可知②错；
③当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，则PO⊥BC，进而BC⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③对；
④中A、B、C、M四点共面．
等式
| OM |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OC |
| MO |
则
| 1 |
| 3 |
| MO |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| MO |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| MO |
| OC |
| 0 |
即
| MA |
| MB |
| MC |
| 0 |
| MA |
| MB |
| MC |
| MA |
| MB |
| MC |
又M是三个有向线段的公共点，
则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
故④是真命题．
故答案为：③④
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