题目内容
如图所示，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=a，AB⊥平面BCD，AB=| 3a |
| AE |
| AC |
| AF |
| AD |
（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
（3）在（2）成立时，求BD与平面BEF所成角的正弦值．
分析：（1）利用面面垂直的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的性质求解．（3）利用线面所成角的定义求解．
解答：
解：（1）证明：因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又在△ACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且
=
=λ，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，
又EF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面ABC．
（2）由（1）知EF⊥平面ABC，
BE?平面ABC，
∴BE⊥EF，假设面BEF⊥面ACD，
则BE⊥平面ACD，AC?平面ACD，
所以BE⊥AC，
∵BC=CD=a，∠BCD=90°，
∴BD=
a，∴AC=
=2a，
由AB2=AE•AC⇒AE=
a⇒λ=
=
．
（3）过点C作CM⊥面BCD，并建立空间坐标系如图，则B（a，0，0），D（0，a，0），A（a，0，
a），
由（1）（2）知AC⊥平面BEF，所以平面BEF的一个法向量为
=(a，0，
a)，则
=(-a，a，0)，
所以|
|=2a，|
|=
a，
设BD与平面BEF所成角的为θ，则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
|=|
|=
．
即BD与平面BEF所成角的正弦值等于
．
解：（1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又在△ACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且
| AE |
| AC |
| AF |
| AD |
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，
又EF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面ABC．
（2）由（1）知EF⊥平面ABC，
BE?平面ABC，
∴BE⊥EF，假设面BEF⊥面ACD，
则BE⊥平面ACD，AC?平面ACD，
所以BE⊥AC，
∵BC=CD=a，∠BCD=90°，
∴BD=
| 2 |
| AB2+BC2 |
由AB2=AE•AC⇒AE=
| 3 |
| 2 |
| AE |
| AC |
| 3 |
| 4 |
（3）过点C作CM⊥面BCD，并建立空间坐标系如图，则B（a，0，0），D（0，a，0），A（a，0，
| 3 |
由（1）（2）知AC⊥平面BEF，所以平面BEF的一个法向量为
| CA |
| 3 |
| BD |
所以|
| CA |
| BD |
| 2 |
设BD与平面BEF所成角的为θ，则sinθ=|cos＜
| CA |
| BD |
| ||||
|
|
| -a2 | ||
2a?
|
| ||
| 4 |
即BD与平面BEF所成角的正弦值等于
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查了面面垂直的判定和性质，要求熟练掌握相关的判定定理和性质定理，是解决本题的关键．
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