题目内容
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
|
| CA |
| BC |
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
分析：（1）先设出椭圆的方程，根据离心率求得a和c的关系式，进而根据a2=b2+c2得a和b的关系，根据直线L与椭圆相交，且
=λ
，进而求得（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），联立方程组，把y=k（x+1）代入椭圆方程整理后表示出x1+x2和x1x2，进而利用弦长公式表示出三角形OAB的面积，联立方程求得三角形OAB的面积．
（2）根据（1）中的三角形OAB的面积，利用基本不等式求得求得k=±
面积最小，推断出此时x1+x2=-1，进而求得b和λ的关系，代入椭圆方程求得，椭圆的标准方程．
（3）把（1）中的方程②③联立求得x1和x2的表达式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的关系式，利用基本不等式求得椭圆短半轴长取得最大值时，k的值，则椭圆的方程可得．
| CA |
| BC |
（2）根据（1）中的三角形OAB的面积，利用基本不等式求得求得k=±
| ||
| 3 |
（3）把（1）中的方程②③联立求得x1和x2的表达式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的关系式，利用基本不等式求得椭圆短半轴长取得最大值时，k的值，则椭圆的方程可得．
解答：解：设椭圆方程为：
+
=1（a＞b＞0），
由e=
=
及a2=b2+c2得a2=3b2，
故椭圆方程为x2+3y2=3b2①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且
=λ
（λ≥2）
∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），
即
②
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0，且△=k2（3b2-1）+b2＞0，
∴x1+x2=-
③x1x2=
④
∴S△OAB=
|x1-x2|
=
|k||x1-x2|=
|k||x2+1|
联立②、③得：x2+1=
∴S△OAB=
•
(k≠0)
（2）S△OAB=
•
=
•
≤
•
(λ≥2)
当且仅当3|k|=
即k=±
时，S△OAB取得最大值．
此时x1+x2=-1，
又∵x1+1=-λ（x2+1），
∴x1=
，x2=
，代入④得：3b2=
故此时椭圆的方程为x2+3y2=
(λ≥2)
（3）由②．③联立得：x1=
-1，x2=
-1，将x1．x2代入④得：3b2=
+1，
由k2=λ-1
得：3b2=
+1=
[
+
]+1
易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b2）max=3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由e=
| c |
| a |
|
故椭圆方程为x2+3y2=3b2①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且
| CA |
| BC |
∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），
即
|
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0，且△=k2（3b2-1）+b2＞0，
∴x1+x2=-
| 6k2 |
| 3k2+1 |
| 3k2-3b2 |
| 3k2+1 |
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| |k| | ||
|
| 1 |
| 2 |
| |λ+1| |
| 2 |
联立②、③得：x2+1=
| 2 |
| (1-λ)(3k2+1) |
∴S△OAB=
| λ+1 |
| λ-1 |
| |k| |
| 3k2+1 |
（2）S△OAB=
| λ+1 |
| λ-1 |
| |k| |
| 3k2+1 |
| λ+1 |
| λ-1 |
| 1 | ||
3|k|+
|
| λ+1 |
| λ-1 |
| 1 | ||
2
|
当且仅当3|k|=
| 1 |
| |k| |
| ||
| 3 |
此时x1+x2=-1，
又∵x1+1=-λ（x2+1），
∴x1=
| 1 |
| λ-1 |
| -λ |
| λ-1 |
| λ2+1 |
| (λ-1)2 |
故此时椭圆的方程为x2+3y2=
| λ2+1 |
| (λ-1)2 |
（3）由②．③联立得：x1=
| -2λ |
| (1-λ)(3k2+1) |
| 2 |
| (1-λ)(3k2+1) |
| 4λ |
| (λ-1)2(3k2+1) |
由k2=λ-1
得：3b2=
| 4λ |
| (λ-1)2(3λ-2) |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| (λ-1)2 |
| 2 |
| (λ-1)2(3λ-2) |
易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b2）max=3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
，过点C(-1，0)的直线
交椭圆于A，B两点，且满足
，
为常数。
时，求三角形OAB的面积. 
，过点C（-1，0）的直线
交椭圆于A，B两点，且满足
，
为常数。
时，求三角形OAB的面积． 
轴上，其离心率
, 过点C（－1,0）的直线
与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量
的比为2.
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
（λ≥2）．