题目内容

(2012•上高县模拟)如图,等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3,点E是线段BD上异于点B、D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
(1)证明:CD⊥平面APE;
(2)设G是AP的中点,试判断DG与平面PCF的关系,并证明;
(3)当x为何值时,V(x)取得最大值.
分析:(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,即证EF⊥PE,利用EF⊥AB,可得EF⊥平面APE,再推导出CD∥EF,从而得到CD⊥平面APE.
(2)延长CF,AE交于点B,连接PB,由DG∥PB,能够推导出DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
1
3
SACEF•PE
=
1
6
(18x-x3)
,0<x<3,利用导数的性质能求出当x为
6
时,V(x)取得最大值.
解答:解:(1)∵EF⊥AB,∴∠BEF=∠PEF=90°,故EF⊥PE,
∵EF⊥AB.AB∩PE=E,∴EF⊥平面APE.
∵等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3,
∴CD∥EF,∴CD⊥平面APE.…(6分)
(2)DG∥平面PCB,证明如下:
延长CF,AE交于点B,连接PB,
则DG∥PB,
∵DG?平面PCB,PB?平面PCB,
∴DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
1
3
SACEF•PE

=
1
3
×(
1
2
×6×3-
1
2
x2)•x

=
1
6
(18x-x3)
,0<x<3
V(x)=
1
6
(18-3x2)
,令V(x)′=0,解得x=
6

∵x∈(0,
6
)时,V(x)是增函数;x∈(
6
,3)时,V(x)是减函数,
∴当x=
6
时,V(x)max=
1
6
[18
6
-(
6
)3]=2
6
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面位置关系的判断,考查四棱锥P-ACFE的体积最大值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
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