题目内容

(1)证明:CD⊥平面APE;
(2)设G是AP的中点,试判断DG与平面PCF的关系,并证明;
(3)当x为何值时,V(x)取得最大值.
分析:(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,即证EF⊥PE,利用EF⊥AB,可得EF⊥平面APE,再推导出CD∥EF,从而得到CD⊥平面APE.
(2)延长CF,AE交于点B,连接PB,由DG∥PB,能够推导出DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
SACEF•PE=
(18x-x3),0<x<3,利用导数的性质能求出当x为
时,V(x)取得最大值.
(2)延长CF,AE交于点B,连接PB,由DG∥PB,能够推导出DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
1 |
3 |
1 |
6 |
6 |
解答:解:(1)∵EF⊥AB,∴∠BEF=∠PEF=90°,故EF⊥PE,
∵EF⊥AB.AB∩PE=E,∴EF⊥平面APE.
∵等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3,
∴CD∥EF,∴CD⊥平面APE.…(6分)
(2)DG∥平面PCB,证明如下:
延长CF,AE交于点B,连接PB,
则DG∥PB,
∵DG?平面PCB,PB?平面PCB,
∴DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
SACEF•PE
=
×(
×6×3-
x2)•x
=
(18x-x3),0<x<3
V(x)′=
(18-3x2),令V(x)′=0,解得x=
.
∵x∈(0,
)时,V(x)是增函数;x∈(
,3)时,V(x)是减函数,
∴当x=
时,V(x)max=
[18
-(
)3]=2
.
∵EF⊥AB.AB∩PE=E,∴EF⊥平面APE.
∵等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3,
∴CD∥EF,∴CD⊥平面APE.…(6分)
(2)DG∥平面PCB,证明如下:
延长CF,AE交于点B,连接PB,
则DG∥PB,
∵DG?平面PCB,PB?平面PCB,
∴DG∥平面PCB.
(3)V(x)=
1 |
3 |
=
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
6 |
V(x)′=
1 |
6 |
6 |
∵x∈(0,
6 |
6 |
∴当x=
6 |
1 |
6 |
6 |
6 |
6 |
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面位置关系的判断,考查四棱锥P-ACFE的体积最大值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

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