Question

（2012•上高县模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是

①②⑤

①若ab＞c²；则C＜

π

3

；②若a+b＞2c；则C＜

π

3

；③若（a²+b²）c²＜2a²b²；则C＞

π

3

；
④若（a+b）c＜2ab；则C＞

π

2

；⑤若a³+b³=c³；则C＜

π

2

．

Answer 1

分析：①利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞

1

2

，从而证明C＜

π

3

；②利用余弦定理，将c²放大为（

a+b

2

）²，再结合均值定理即可证明cosC＞

1

2

，从而证明C＜

π

3

；③④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；⑤利用反证法，假设C≥

π

2

时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．

解答：解：①ab＞c²⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故①正确；
②a+b＞2c⇒cosC═

a2+b2-c2

2ab

＞

4(a2+b2)-(a+b)2

8ab

≥

8ab-4ab

8ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故②正确；
③取a=b=

2

，c=1，满足（a²+b²）c²＜2a²b²，此时有C＜

π

3

，故③错误；
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜

π

3

＜

π

2

，故④错误；
⑤当C≥

π

2

时，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³与a³+b³=c³矛盾，故⑤正确；
故答案为：①②⑤

点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题．