题目内容

方程x²-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，则实数k的取值范围为________．

（0， $\text{[math]}$ ）
分析：构造函数f（x）=x²-（k+2）x+1-3k，根据方程x²-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，建立不等式，从而求得实数k的取值范围．
解答：构造函数f（x）=x²-（k+2）x+1-3k
∵方程x²-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴实数k的取值范围为（0， $\text{[math]}$ ）
故答案为：（0， $\text{[math]}$ ）
点评：本题重点考查方程根的分布，考查解不等式，解题的关键是构造函数，用函数思想研究方程根的问题．