题目内容
已知方程x2+(k-2)x+k2+1=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.
分析:先写出使两根都大于1的充要条件是
| (k-2)2-4(k2+1)≥0 | (x1-1)+(x2-1)>0 | (x1-1)(x2-1)>0 |
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;再结合韦达定理解不等式即可得到结论.
解答:解:设方程的两根为x
1,x
2,则使两根都大于1的充要条件是:
| (k-2)2-4(k2+1)≥0 | (x1-1)+(x2-1)>0 | (x1-1)(x2-1)>0 |
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即
| -≤ k≤0 | (x1+x2)-2>0 | x1x2-(x1+x2)+1>0 |
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…(6分)
由韦达定理,得
解得
-≤k<-1…(10分)
所以方程x
2+(k-2)x+k
2+1=0有两个大于1的根的充要条件为
-≤k<-1…(12分)
点评:本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系.解决这一类型题目一般都要结合韦达定理.
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