Question

已知：2^x≤256且log₂^x≥

1

2

，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数f（x）=log₂ (

x

2

)•log 

2

 (

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用指数与对数不等式求出x的范围，求出交集即可．
（2）通过x的范围求出log₂x的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可．

解答：解：（1）由2^x≤256得x≤8，log₂^x≥

1

2

得x≥

2

，∴

2

≤x≤8．
（2）由（1）

2

≤x≤8得

1

2

≤log2x≤3，
f（x）=log₂ (

x

2

)•log 

2

 (

x

2

)=（log₂x-log₂2）（log

2

x

-log

2

2）
∴f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-

3

2

）²-

1

4

，
当log₂x=

3

2

，f（x）_min=-

1

4

．
当log₂x=3，f（x）_max=2．

点评：本题考查指数与对数不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想，计算能力．