Question

已知：2^x≤256且log₂x≥

1

2

，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数f(x)=log2(

x

2

)•log2(

x

4

)的最大值和最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）由2^x≤256求得x≤8，再由log₂x≥

1

2

求得 x≥

2

，综上可得x的范围．
（2）由（1）可得，

2

≤x≤8，

1

2

≤log₂x≤3，再根据f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2），利用二次函数的性质求得它的最值，以及此时对应的x值．

解答：解：（1）由2^x≤256=2⁸，∴x≤8．
且log₂x≥

1

2

=log2

2

，可得 x≥

2

．
综上可得，

2

≤x≤8，即x的范围为[

2

，8]．
（2）由（1）可得，

2

≤x≤8，∴

1

2

≤log₂x≤3，
∴f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=( log2x-

3

2

)2-

1

4

，
∴当 log₂x=

3

2

 时，函数f（x）取得最小值为-

1

4

，此时，x=2

2

．
当 log₂x=3时，函数f（x）取得最大值为2，此时x=8．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合，二次函数的性质应用，属于中档题．