题目内容
（2012•潍坊二模）已知向量
=（Asinωx，Acosωx），
=（cosθ，sinθ），f（x）=
•
+1，其中A＞0、ω＞0、θ为锐角．f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
，且当x=
时，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求?的最小值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
（I）求f（x）的解析式；
（II）将f（x）的图象先向下平移1个单位，再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，若g（x）为奇函数，求?的最小值．
分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）=Asin（ωx+θ）+1，再由f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
，且当x=
时，f（x）取得最大值3，可解A，w，θ；
（II）先由图象变换的规律解得g（x）的解析式，再由奇函数的性质得g（0）=0可求?的最小值．
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
（II）先由图象变换的规律解得g（x）的解析式，再由奇函数的性质得g（0）=0可求?的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵
=（Asinωx，Acosωx），
=（cosθ，sinθ），
∴f（x）=
•
+1=Asinωxcosθ+Acosωxsinθ+1
=Asin（ωx+θ）+1，
因为f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
，且当x=
时，f（x）取得最大值3．
所以A=2，T=
=π，解得ω=2，故f（x）=2sin（2x+θ）+1，
由f（
）=2sin（2×
+θ）+1=3，解得θ=
．
故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+
）+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：将f（x）的图象先向下平移1个单位得函数y=2sin（2x+
）的图象，
再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x+?）+
]，若g（x）为奇函数，
则g（0）=2sin（2?+
），即2?+
=kπ，（k∈Z），又?＞0，故?的最小值为
| a |
| b |
∴f（x）=
| a |
| b |
=Asin（ωx+θ）+1，
因为f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
所以A=2，T=
| 2π |
| w |
由f（
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：将f（x）的图象先向下平移1个单位得函数y=2sin（2x+
| π |
| 3 |
再向左平移?（?＞0）个单位得g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x+?）+
| π |
| 3 |
则g（0）=2sin（2?+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
点评：本题为向量与三角函数的综合应用，涉及数量积和图象的变换以及奇函数的特点，属中档题．
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