Question

（2012•潍坊二模）已知双曲线C：

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则

PF1

•

PF2

等于（　　）

Answer 1

分析：设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，根据点P在双曲线上且|PF₂|=|F₁F₂|，建立关于m、n的方程组，解之得m、n的值，从而得到向量

PF1

、

PF2

的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出

PF1

•

PF2

的值．

解答：解：根据双曲线方程

x2

4

-

y2

5

=1，
得a²=4，b²=5，c=

a2+b2

=3，所以双曲线的焦点分别为F₁（-3，0）、F₂（3，0），
设点P的坐标为（m，n），其中m＞2，则
∵点P在双曲线上，且|PF₂|=|F₁F₂|，
∴

m2 4 - n2 5 =1 (m-3)2+n2 =6

，解之得m=

16

3

，n=±

5

3

11

∵

PF1

=（-3-m，-n），

PF2

=（3-m，-n）
∴

PF1

•

PF2

=（-3-m）（3-m）+（-n）（-n）=m²-9+n²=

256

9

-9+

275

9

=50
故选C

点评：本题给出双曲线上一点到右焦点的距离恰好等于焦距，求该点指向两个焦点向量的数量积，着重考查了向量的数量积和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．