Question

已知△ABC的周长为

2

+1，面积为S，且sinA+sinB=

2

sinC．
（ I）求边AB的长；
（ II）若2S=（a+b）²-c²，求tanC的值．

Answer 1

分析：（ I）直接根据周长为

2

+1，结合sinA+sinB=

2

sinC利用正弦定理转化得到的结论即可求边AB的长；
（ II）先根据面积公式得到absinC=a²+b²-c²+2ab，再结合余弦定理即可得到sinC=2（1+cosC）；根据二倍角公式可以先求出tan

C

2

；最后结合二倍角的正切即可求出结论．

解答：解：（ I）由题意得AB+BC+AC=

2

+1，
根据正弦定理，BC+AC=

2

AB，
两式相减，得AB=1．…．（4分）
（ II）依题意，得absinC=a²+b²-c²+2ab…（5分）
由余弦定理知：a²+b²-c²=2abcosC…．（6分）
∴absinC=2ab（1+cosC），即sinC=2（1+cosC）…..（7分）
由二倍角公式可得：sin

C

2

cos

C

2

=2cos²

C

2

…..（9分）
又0°＜C＜180°，
∴cos

C

2

≠0，∴sin

C

2

=2cos

C

2

，
即tan

C

2

=2…（10分）
∴tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

1-4

=-

4

3

…..（12分）

点评：本题主要考查正余弦定理以及二倍角公式的应用．解决这一类型题目的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．