题目内容

设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题:①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;②c=0时,y=f(x)是奇函数;③方程f(x)=0至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为
 
分析:根据题意,依次分析三个命题,①b=0,c>0时,f(x)=x|x|+c=
x2+c (x≥0)
-x2+c (x<0)
,如图①,结合图形作答.
②c=0时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数,③当c=0,b<0时,如图②,f(x)=x|x|+bx=
x2+bx (x≥0)
-x2+bx (x<0)
,结合图形作答.
解答:解:①b=0,c>0时,f(x)=x|x|+c=
x2+c (x≥0)
-x2+c (x<0)
,如图①,曲线与x轴只有一个交点,
所以方程f(x)=0 只有一个实数根,正确.
②c=0时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数.
③当c=0,b<0时,如图②,f(x)=x|x|+bx=
x2+bx (x≥0)
-x2+bx (x<0)

方程f(x)=0可以有三个实数根.
综上所述,正确命题的序号为①②.
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点评:本题考查函数的奇偶性,方程根的个数判断,体现了数形结合的数学思想.
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