题目内容

已知:在函数的图象上,以为切点的切线的倾斜角为

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)是否存在最小的正整数,使得不等式对于恒成立?如果存在,请求出最小的正整数;如果不存在,请说明理由;

(Ⅲ)求证:).

 

【答案】

(Ⅰ).

(Ⅱ)存在最小的正整数,使得不等式对于恒成立.

(Ⅲ)).

【解析】

试题分析:(Ⅰ) ,依题意,得,即.

2分

∵ , ∴ .                             3分

(Ⅱ)令,得.                 4分

时,

时,

时,.

.

因此,当时,.              7分

要使得不等式对于恒成立,则.

所以,存在最小的正整数,使得不等式对于

恒成立.                                     9分

(Ⅲ)方法一:

.            11分

又∵ ,∴ .

.         13分

综上可得,).                  14分

方法二:由(Ⅱ)知,函数在 [-1,]上是增函数;在[,]上是减函数;在[,1]上是增函数.

.

所以,当x∈[-1,1]时,,即.

∈[-1,1],∴ .

.   11分

又∵,∴ ,且函数上是增函数.

.            13分

综上可得,).     14分

考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值,均值定理的应用,三角函数恒等变换。

点评:难题,本题综合性较强,对复杂式子的变形能力要求较高。不等式的证明中,灵活运用不等式的性质是一个关键点。

 

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