题目内容
已知:在函数的图象上,以为切点的切线的倾斜角为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)是否存在最小的正整数,使得不等式对于恒成立?如果存在,请求出最小的正整数;如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:(,).
【答案】
(Ⅰ).
(Ⅱ)存在最小的正整数,使得不等式对于恒成立.
(Ⅲ)(,).
【解析】
试题分析:(Ⅰ) ,依题意,得,即,.
2分
∵ , ∴ . 3分
(Ⅱ)令,得. 4分
当时,;
当时,;
当时,.
又,,,.
因此,当时,. 7分
要使得不等式对于恒成立,则.
所以,存在最小的正整数,使得不等式对于
恒成立. 9分
(Ⅲ)方法一:
. 11分
又∵ ,∴ ,.
∴
. 13分
综上可得,(,). 14分
方法二:由(Ⅱ)知,函数在 [-1,]上是增函数;在[,]上是减函数;在[,1]上是增函数.
又,,,.
所以,当x∈[-1,1]时,,即.
∵ ,∈[-1,1],∴ ,.
∴ . 11分
又∵,∴ ,且函数在上是增函数.
∴ . 13分
综上可得,(,). 14分
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值,均值定理的应用,三角函数恒等变换。
点评:难题,本题综合性较强,对复杂式子的变形能力要求较高。不等式的证明中,灵活运用不等式的性质是一个关键点。
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