Question

①设x，y∈R⁺，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．
②设x≥0，y≥0，且x²+y²=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入x+y+xy=2中，得到关于x+y的一元二次不等式进去求得x+y的最小值．
（2）先根据x²+y²=4和xy=

(x+y)2-4

2

求出x+y的范围，进而把xy=

(x+y)2-4

2

代入xy-4（x+y）-2中，设x+y=t则有f（t）=

1

2

t²-4t-4，进而根据t的范围求得xy-4（x+y）-2的最小值．

解答：解：①∵x，y∈R⁺，
∴xy≤

(x+y)2

4

（当且仅当x=y时成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤

(x+y)2

4

解得x+y≥2

3

-2或x+y≤-2-2

3

（舍去）
∴x+y的最小值为2

3

-2
②∵x²+y²=（x+y）²-2xy=4
∴xy=

(x+y)2-4

2

≤

(x+y)2

4

（当且仅当x=y时，等号成立．）
∴x+y≤8
设x+y=t则有f（t）=

1

2

t²-4t-4，函数为开口向上，对称轴为t=4的抛物线
∵t≤8
∴f（t）≥f（4）=-12
故xy-4（x+y）-2的最小值为-12

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．涉及了不等式和函数等知识点，有较强的综合性．