Question

已知函数f（x）=a+bsinx+ccosx（x∈R）的图象经过点A（0，1），B(

π

2

，1)，且b＞0，又f（x）的
最大值为2

2

-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）由函数y=f（x）的图象经过平移是否能得到一个奇函数y=g（x）的图象？若能，请写出平移过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据辅角公式进行化简，然后根据图象经过（0，1）、(

π

2

，1)，其最大值为2

2

-1，可得到a，b，c的关系式，即可求出a，b，c的值，从而可确定函数f（x）的解析式．
（2）先根据两角和与差的正弦公式花间（1）中的解析式得到f（x）=-1+2

2

sin(x+

π

4

)，然后先向上平移1个单位，再向右平移

π

4

个单位即可得到一个奇函数的解析式．

解答：解：（1）f（x）=a+bsinx+ccosx=a+

b2+c2

sin(x+θ)，
又图象经过（0，1）、(

π

2

，1)，其最大值为2

2

-1．
∴

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，
解得

a=-1 b=2 c=2

，
∴f（x）=-1+2sinx+2cosx
（2）能．f（x）=-1+2

2

sin(x+

π

4

)，
把f（x）的图象向上平移1个单位，得y=2

2

sin(x+

π

4

)的图象，
把y=2

2

sin(x+

π

4

)的图象向右平移

π

4

个单位，得y=2

2

sinx的图象．
g（x）=2

2

sinx即为一个奇函数

点评：本题主要考查辅角公式、两角和与差的正弦公式的应用和三角函数的平移．三角函数的平移遵循上加下减、左加右减的原则．