题目内容

已知：函数f(x)=
2
(sinx-cosx)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函数f（x）的图象过点(α，
6
5
)，
π
4
＜α＜
3π
4
．求f(
π
4
+α)的值．
（1）f(x)=
2
(sinx-cosx)=2(sinx•
2
2
-cosx•
2
2
)=2sin(x-
π
4
)---（3分）
∴函数的最小正周期为2π，值域为{y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依题意得：2sin(α-
π
4
)=
6
5
，sin(α-
π
4
)=
3
5
，
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴0＜α-
π
4
＜
π
2
，∴cos(α-
π
4
)=
1-sin2(α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5
f(
π
4
+α)=2sin[(α-
π
4
)+
π
4
]
∵sin[(α-
π
4
)+
π
4
]=sin(α-
π
4
)cos
π
4
+cos(α-
π
4
)sin
π
4
=
2
2
(
3
5
+
4
5
)=
7
2
10

∴f(
π
4
+α)=
7
2
5

解法2：依题意得：sin(α-
π
4
)=
3
5
，得sinα-cosα=
3
2
5
----①
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴0＜α-
π
4
＜
π
2
，∴cos(α-
π
4
)=
1-sin2(α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5

由cos(α-
π
4
)=
4
5
得sinα+cosα=
4
2
5
-----------②
①+②得2sinα=
7
2
5
，∴f(
π
4
+α)=
7
2
5

解法3：由sin(α-
π
4
)=
3
5
得sinα-cosα=
3
2
5
，
两边平方得，1-sin2α=
18
25
，sin2α=
7
25
，
∵
π
4
＜α＜
3π
4
．∴
π
2
＜2α＜
3π
2
由sin2α=
7
25
＞0知
π
2
＜2α＜π
∴cos2α=-
1-sin22α
=-
24
25
，由cos2α=1-2sin2α，得sin2α=
1-cos2α
2
=
49
50

∴sinα=
7
2
10
∴f(
π
4
+α)=
7
2
5
．
练习册系列答案
相关题目
函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x=
5π
4
B．x=
3π
4
C．x=-
π
4
D．x=-
π
2
函数f（x）=sin2x+asin（
π
2
-2x）的图象关于直线x=-
π
8
对称，则实数a的值为（　　）
A．-
2
B．
2
C．-1D．1
函数y=tan(
π
4
x-
π
2
)的部分图象如图所示，则(
OA
+
OB
)•
AB
=______．
如图是函数y=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)在一个周期内的图象，M、N分别是最大、最小值点，O为坐标原点且
OM
•
ON
=0，则A•ω的值为（　　）
A．
π
6
B．
2
π
6
C．
7
π
6
D．
7π
12
已知函数，（1）求的值；（2）若，求的值域.
若，则的最小值为           .
已知函数的部

分图象如图所示，则的解析式是（   ）
   
A．
B．
C．
D．
函数最小值是(     )
A．-1B．C．D．1

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