题目内容
【题目】已知椭圆
，离心率为
，直线
恒过
的一个焦点
.
（1）求的标准方程；
（2）设
为坐标原点，四边形
的顶点均在上，
交于，且
，若直线
的倾斜角的余弦值为
，求直线
与
轴交点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将
转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.
（2）根据向量等式，可以确定
分别是
的中点.设
，求出直线
的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出
的坐标，同理求出
点坐标，求出直线
的方程，最后求出直线与
轴交点的坐标.
（1）设椭圆的半焦距为
，可化为
，所以直线恒过点
，所以点
，可得
.因为离心率为
，所以
，解得
，由
得
，所以
的标准方程为.
（2）因为
，所以
.由
得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为
，得直线的斜率为2，所以
，联立
消去
，得
.显然，
，且
， 
，所以
，可得
，同理可得
，所以
，所以
.令
，得
，所以直线与轴交点的坐标为.
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