Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a， c，再根据椭圆中a，b，c之间的关系求出m的值，最后求出上顶点B的坐标；

空2：设出直线MN的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.

空1：因为右焦点为，所以有且，

而，所以，因此椭圆上顶点的坐标为：；

空2：设直线MN的方程为：，由（1）可知：椭圆的标准方程为：

，直线方程与椭圆方程联立：，化简得：

，设，线段的中点为，于是有：，，

所以点坐标为：，

因为的重心恰为点，所以有，

即，

因此有：，

得：，所以直线斜率为.

故答案为：；