Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，
（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD， ∴BA是PA在面ABCD上的射影， 又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°， 而PB是四棱锥P-ABCD的高，PB=AB·tg60°=a， ∴。
（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形， 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE， ∴， 故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角， 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC， ∴， 在△AEC中， ， 所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。