Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；
（2）记g（x）=log．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂
∵x₁＜x₂，∴0＜＜1，∴log₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）解：∵g（x）=log，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log-log₂（2^x+1）=log₂（1-）．
当1≤x≤2时，，
∴≤1-≤
∴m的取值范围是．
分析：（1）利用函数单调性的定义，证明函数f（x）在R上单调递增，步骤为取值、作差、变形定号、下结论；
（2）关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，转化为求m=g（x）-f（x）在[1，2]上的值域问题．
点评：本题考查函数单调性的证明，考查学生转化问题的能力，考查求函数的值域，属于中档题．