Question

（本小题满分12分）已知抛物线的准线方程，与直线在第一象限相交于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作抛物线的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，…，依此类推，在x轴上形成一点列，，，…，，设点的坐标为

   （Ⅰ）试探求关于的递推关系式；  （Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  见解析 （Ⅲ）见解析

解析:

（I）由题意知：　　（１分）

    由题意知联立得：，.

       　　　（３分）

    切线的斜率为，直线的斜率，

    直线的方程为

    令，得：     （５分）

    （Ⅱ）由已知易得，直线的斜率，

直线的方程为：令得  （７分）

 （９分）

 

当时 ，即： 

当时，  故（11分）(用数学归纳法证明亦可)

（III）由（II）知：.

.   (12分)