题目内容

【题目】已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求f(x)的单调递增区间.

【答案】(1) 详见解析;(2) [kπ-kπ)∪(kπ,kπ+]k∈Z.

【解析】试题分析:(1)根据正弦函数的性质求出函数的定义域,再根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简,得到函数的最小正周期;(2)由正弦函数的单调区间求解即可.

试题解析:

(1)由sinx≠0得xkπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x∈Rxkπ,k∈Z}.

f(x)=

=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1

sin(2x)-1,f(x)的最小正周期T=π.

(2)函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](kZ).

由2kπ-≤2x≤2kπ+xkπ(kZ),

kπ-xkπ+xkπ(kZ).

f(x)的单调递增区间为[kπ-kπ)(kπ,kπ+]kZ.

点睛:本题考查三角函数的图象与性质,以及同角三角函数的基本关系,属于中档题目.三角函数的化简往往利用诱导公式,两角和与差的公式以及二倍角公式化为函数形式,再根据正弦函数的有界性,单调区间,周期性和对称性等求解.

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