题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,侧面
底面
,
为
中点,
.
(I)在线段上是否存在点
,使得
//平面
,指出点
的位置并证明;
(II)求二面角的余弦值.
【答案】(I)存在,为线段
的中点;(II)
.
【解析】
试题分析:(I)连结,由三角形的中位线长定理可知
,再由线面平行的判定定理可证得
//平面
;(II)取
中点
,则
,
,以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,
是平面
的一个法向量,设平面
的一个法向量是
,再求
即可.
试题解析:
(I)存在点,
为线段
的中点,
证明:如图,连结,
因为底面是正方形,所以
与
互相平分,
又因为是
中点,所以
是
中点,
所以,
又因为,
,
所以;
(II)取中点
,
在中,因为
,所以
,
因为面底面
,且面
面
,
所以,
因为,所以
,
又因为是
的中点,所以
,
以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,
因为,所以
,则
,
,
于是,
因为,所以
是平面
的一个法向量,
设平面的一个法向量是
,
因为,所以
,即
,
令,则
,
所以,
由图可知,二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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