Question

（2010•聊城一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），由|OP|=

7

2

得

x

2 0

+

y

2 0

=

7

4

；由

PF1

•

PF2

=

3

4

得

x

2 0

+

y

2 0

-c2=

3

4

．所以c=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）动直线l的方程为y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．由此入手能求出当且仅当

1

t

=1时，△MAB面积的最大值．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则由|OP|=

7

2

得

x

2 0

+

y

2 0

=

7

4

；
由

PF1

•

PF2

=

3

4

得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，
即

x

2 0

+

y

2 0

-c2=

3

4

．
所以c=1…（2分）
又因为

c

a

=

2

2

，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）动直线l的方程为y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，
得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．…（6分）
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)．

MA

•

MB

=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=(k2+1)x1x2-k(

1

3

+m)(x1+x2)+m2+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)

4k

3(2k2+1)

+m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

．
由假设得对于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

，
解得m=1．
故在y轴上存在定点M（0，1），
使得以AB为直径的圆恒过这个点…（10分）
这时，点M到AB的距离d=

4

3 k2+1

，
|AB|=

(k2+1)(x1-x2)2

．

S△MAB= 1 2 |AB|d= 2 3 (x1-x2)2 = 2 3 (x1+x2)2-4x1x2 = 2 3 16k2 2(k2+1)2 + 64 9(2k2+1) = 8 9 9k2+4 (2k2+1)2 ．

设2k²+1=t，
则k2=

t-1

2

，
得t∈[1，+∞)，

1

t

∈(0，1]．
所以S△MAB=

8

9

9 2 ( 1 t )- 1 2 ( 1 t )2

=

8

9

1 2 [ 81 4 -( 1 t - 9 2 )2]

≤

16

9

．
当且仅当

1

t

=1时，上式等号成立．
因此，△MAB面积的最大值是

16

9

．…（13分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．