Question

（2010•聊城一模）已知A、B为抛物线C：y²=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若

FA

=-4

FB

，则直线AB的斜率为（　　）

• A．±

  2

  3

• B．±

  3

  2

• C．±

  3

  4

• D．±

  4

  3

Answer 1

分析：先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中得到答案．

解答：解：由题意可知直线的斜存在，故可设为k（k≠0）
∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2(2+k2)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)
∵

FA

=-4

FB

，
∴

x1-1=-4(x2-1) y1=-4y2

即

x1=-4x2+5 y1=-4y2

②
①②联立可得，x2=

3k2-4

3k2

，y2=-

4

3k2

•k=-

4

3k

，代入抛物线方程y²=4x可得

16

9k2

=

3k2-4

3k2

×4
∴9k²=16
∴k=±

4

3

故选D

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用以及向量的有关知识．