Question

一个空间几何体的三视图及部分数据如图1所示．

（1）请在图2中补充完整该几何体的直观图，并求它的体积；
（2）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB₁C₁，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由三视图知几何体为一直三棱柱，高为

3

，底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为

3

，1，代入棱柱的体积公式计算；
（2）根据线面垂直的判定定理只需证明A₁C⊥B₁C₁；A₁C⊥AC₁即可；
（3）当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁，利用证明平面DEF∥平面AB₁C₁，可得线面平行．

解答：解：（1）几何体的直观图如图．

几何体为一直三棱柱，高为

3

，底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为

3

，1，
∴其体积V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；      
（2）证明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥A₁C．
∵四边形ACC₁A₁为正方形，∴A₁C⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）当E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB₁C₁．
证明：如图，取BB₁的中点F，连结EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC₁，AB，BB₁的中点，∴EF∥AB₁．
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．同理可得FD∥平面AB₁C₁，
又EF∩FD=F，∴平面DEF∥平面AB₁C₁．
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB₁C₁．

点评：本题由三视图求几何体的体积，考查了线面垂直及线面平行的证明，解题的关键是判断三视图的数据所对应的几何量及几何图形的性质．