题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为
，且经过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆与
轴正半轴的交点，上是否存在两点
，使得
是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，3个
【解析】
（1）根据题意列出方程组
，解方程组即可.
（2）首先设
所在直线的方程为
，直线
所在的方程为
.联立直线方程和椭圆方程，解方程求得
的坐标，同理求出
的坐标.根据
，解方程即可求出
的值，再讨论的值，即可判断符合三角形的个数.
（1）由题
，解得
，
.
所以椭圆
的方程为.
（2）存在，理由如下：
由题意可知，直角边
不可能垂直或平行于
轴，
故可设所在直线的方程为，
不妨设
，则直线所在的方程为.
联立方程
消去
，并整理得
，
解得
，
将代入可得
，
所以点的坐标为
.
所以
.
同理可得
，
由，得
，
所以
，则
，
解得
或
.
当斜率时，斜率
；
当斜率
时，斜率
；
当斜率
时，斜率
.
综上所述，符合条件的三角形有3个.
【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？
（均精确到0.001）
附注：①参考数据：
，
，
②参考公式：相关系数
，
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：
年龄（岁） |
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频数 |
|
| 14 | 12 | 8 | 6 |
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
（1）求上表中的
的值，并补全右图所示的的频率直方图；
（2）在被调查的居民中，若从年龄在
的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
【题目】武汉市摄影协会准备在2020年1月举办主题为“我们都是追梦人”摄影图片展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中
在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：
（1）求频率直方图中
的值，并根据频率直方图，求这100位摄影者年龄的中位数；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的幸福生活，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：
年龄 |
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人数 |
②若从年龄在
的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人中至少有1人的年龄在
的概率．
【题目】苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
产地 |
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批发价格 |
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市场份额 |
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市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于
元的概率；
（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取
箱富士苹果进行检验，
①从产地
共抽取
箱,求的值；
②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；
（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地
的市场份额将增加
，产地
的市场份额将减少，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱
元，明年苹果的平均批发价为每箱
元，比较
的大小.（只需写出结论）
