Question

已知直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线方程代入椭圆方程，利用判别式大于0，即可求m的取值范围；
（2）证明直线MA、MB的倾斜角互补，即可证得结论．
解答：（1）解：直线l：y=x+m代入椭圆，可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点A，B，
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴k₁+k₂=+==
==0
∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，属于基础题．