Question

12．已知函数f（x）=lgx（x∈R₊），若x₁，x₂∈R₊，判断$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]与f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小并加以证明．

Answer 1

分析 先判断，后证明；利用对数的运算性质化简，利用基本不等式及对数函数的单调性判断符号，从而证明．

解答 解：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），证明如下，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（lgx₁+lgx₂）-lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
=lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
∵$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤lg$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤0，
即$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

点评 本题考查了对数函数的应用及基本不等式的应用．