题目内容
5、已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,则f(x)的表达式为( )
分析:本题是据题意求参数的题,题目中x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,可转化出五个等式,择其四建立方程.
解答:解:f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
∵x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0
∴f′(1)=3a+2b+c=0 ①
f′(3)=27a+6b+c=0 ②
f(1)=a+b+c+d=4 ③
又函数图象过原点,所以 d=0 ④
①②③④联立得 a=1,b=-6,c=9
故函数f(x)=x3-6x2+9x
故选 C.
∵x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0
∴f′(1)=3a+2b+c=0 ①
f′(3)=27a+6b+c=0 ②
f(1)=a+b+c+d=4 ③
又函数图象过原点,所以 d=0 ④
①②③④联立得 a=1,b=-6,c=9
故函数f(x)=x3-6x2+9x
故选 C.
点评:本小题考点是导数的运用,考查导数与极值的关系,本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数---求函数的表达式.

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