题目内容
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c在x=0处取得极大值1．求实数b，c的值和实数a的取值范围．
分析：由于f′（x）=3x2-2ax+b，依题意知，f′（0）=b=0，f（0）=c=1，即可求得a，b，再由f′（x），得到函数f（x）在x=0处取得极大值的条件，从而可得答案．
解答：解：∵f（x）=x3-ax2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-2ax+b，
又函数f（x）=x3-ax2+bx+c在x=0处取得极大值1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），
当a＜0时，则当x∈(
，0)，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=0处取得极小值，与题意不符；
当a=0时，函数无极值；
当a＞0时，则当x＜0时，f′（x）＞0，当x∈(0，
)时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=0处取得极大值，符合题意
综上可知，a＞0满足题意．
∴f′（x）=3x2-2ax+b，
又函数f（x）=x3-ax2+bx+c在x=0处取得极大值1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），
当a＜0时，则当x∈(
| 2a |
| 3 |
∴f（x）在x=0处取得极小值，与题意不符；
当a=0时，函数无极值；
当a＞0时，则当x＜0时，f′（x）＞0，当x∈(0，
| 2a |
| 3 |
∴f（x）在x=0处取得极大值，符合题意
综上可知，a＞0满足题意．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2-2ax+b，利用f′（0）=0，f（0）=1求得b，c是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|