题目内容

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c在x=0处取得极大值1.求实数b,c的值和实数a的取值范围.
分析:由于f′(x)=3x2-2ax+b,依题意知,f′(0)=b=0,f(0)=c=1,即可求得a,b,再由f′(x),得到函数f(x)在x=0处取得极大值的条件,从而可得答案.
解答:解:∵f(x)=x3-ax2+bx+c,
∴f′(x)=3x2-2ax+b,
又函数f(x)=x3-ax2+bx+c在x=0处取得极大值1,
∴f′(0)=b=0,f(0)=c=1,
∴f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),
当a<0时,则当x∈(
2a
3
,0)
,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)在x=0处取得极小值,与题意不符;
当a=0时,函数无极值;
当a>0时,则当x<0时,f′(x)>0,当x∈(0,
2a
3
)
时,f′(x)<0,
∴f(x)在x=0处取得极大值,符合题意
综上可知,a>0满足题意.
点评:本题考查函数在某点取得极值的条件,求得f′(x)=3x2-2ax+b,利用f′(0)=0,f(0)=1求得b,c是关键,考查分析、推理与运算能力,属于中档题.
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