Question

定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f(

1

2010

)=

 

．

Answer 1

分析：先由已知条件f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)求出一些特值，f（1）=1，f(

1

2

) =

1

2

，可得f（

1

5

）=

1

2

，
再由当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），结合f(

1

2

) =

1

2

=f（

1

5

）可以看出x∈[

1

5

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，
再利用条件f(

x

5

)=

1

2

f(x)将

1

2010

逐步转化到[

1

5

，

1

2

]内，代入求解即可．

解答：解：由f（x）+f（1-x）=1可知f（x）的图象关于(

1

2

，

1

2

)对称，
由f（0）=0得f（1）=1，f(

1

2

) =

1

2

，
f(

x

5

)=

1

2

f(x)中令x=1可得f（

1

5

）=

1

2

，
又因为0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
所以x∈[

1

5

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，
由f(

x

5

)=

1

2

f(x)可得f(

1

2010

)=

1

2

f(

1

402

)=

1

4

f(

5

402

)=

1

8

f(

25

402

)=

1

16

f(

125

402

)，
因为

125

402

∈[

1

5

，

1

2

]，
所以f(

125

402

)=

1

2

，
所以f(

1

2010

)=

1

32

故答案为：

1

32

点评：本题考查抽象函数的性质的应用问题及转化思想，综合性较强，难度较大．