题目内容

定义在R上的函数满足f(0)=0 ,f(x)+f(1-x)=1 , f(
x
5
)=
1
2
f(x)
,且当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2),则f(
1
2012
)
=
1
32
1
32
分析:依题意,可求得f(1)=1,f(
1
2
)=
1
2
,再分别利用f(
x
5
)=
1
2
f(x),可求得f(
1
3125
)=f(
1
1250
)=
1
32
,结合已知,即可求得答案.
解答:解:依题意知,f(1)=1,由f(
1
2
)+(1-
1
2
)=1得:f(
1
2
)=
1
2

又f(
x
5
)=
1
2
f(x),
∴f(
1
5
)=f(
1
2
)=
1
2

f(
1
25
)=f(
1
10
)=
1
4

f(
1
125
)=f(
1
50
)=
1
8

f(
1
625
)=f(
1
250
)=
1
16

f(
1
3125
)=f(
1
1250
)=
1
32

1
3125
1
2012
1
1250

当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2),
∴f(
1
2012
)=
1
32

故答案为:
1
32
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法求值,考查递推关系式的灵活应用,属于中档题.
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