Question

（2014•兰州一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F_l，F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（　　）

• A．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

分析：根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a²+b²=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到

b

a

=

4

3

，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．

解答：解：∵点（3，4）在以|F₁F₂|为直径的圆上，
∴c=

32+42

=5，可得a²+b²=25…①
又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=

b

a

x上，
∴

b

a

=

4

3

…②，
①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程

x2

9

-

y2

16

=1
故选：C

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．