Question

18．已知0＜a＜b，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（　　）

• A． log₂a＞0
• B． 2^a-b$＜\frac{1}{2}$
• C． log₂a+log₂b＜-2
• D． 2${\;}^{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}$$＜\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分别根据对数指数幂的运算性质和基本不等式即可比较大小．

解答 解：由0＜a＜b，且a+b=1，
∴log₂a＜log₂1=0，故A错误，
由0＜a＜b，且a+b=1
∴-1＜a-b＜0，
∴2^a-b＞2^-1=$\frac{1}{2}$，故B错误，
∵a+b=1＞2$\sqrt{ab}$，
∴ab＜$\frac{1}{4}$，
∴log₂a+log₂b=log₂ab＜log₂$\frac{1}{4}$=-2，故C正确，
∵$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$＞2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
∴2${\;}^{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}$＞2²=4，故D错误，
故选：C．

点评 本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的单调性和基本不等式，属于中档题．