Question

8．已知数列{a_n}，其前n项和为${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{7}{2}n\;（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_n}={2^{{a_n}-2}}$，求数列{b_n}的通项公式，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）若数列{c_n}满足${c_n}={a_n}•{b_n}^{\frac{1}{3}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和前n项和的关系，化简整理可得{a_n}的通项公式，再由定义即可得到证明；
（Ⅱ）求得{b_n}的通项公式，再由定义可证为等比数列；
（Ⅲ）求得数列{c_n}的通项公式，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{7}{2}n\;（n∈{N^*}）$．
当n=1时，a₁=5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$[n²-（n-1）²]+$\frac{7}{2}$[n-（n-1）]=3n+2，
又a₁=5满足a_n=3n+2，则a_n=3n+2．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N），
∴数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由已知得${b_n}={2^{{a_n}-2}}$=8ⁿ，
∵$\frac{{b{\;}_{n+1}}}{b_n}=8，（n∈{N^*}）$，
则数列{b_n}是以8为首项，8为公比的等比数列．
（Ⅲ）${c_n}={a_n}•{b_n}^{\frac{1}{3}}=（3n+2）•{2^n}$，
前n项和T_n=5•2+8•2²+11•2³+…+（3n+2）•2ⁿ，
2T_n=5•2²+8•2³+11•2⁴+…+（3n+2）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=10+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+2）•2ⁿ⁺¹
=10+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+2）•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=（3n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，属于中档题．