为了解一种植物的生长情况.抽取一批该植物样本测量高度.其频率分布直方图如图所示(1)求该植物样本高度的平均数$\overrightarrow{x}$和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ.a2).其中μ近似为平均数$\overrightarrow{x}$.a2近似为样本方差s2.利用该正态分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示
（1）求该植物样本高度的平均数$\overrightarrow{x}$和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）假设该植物的高度Z服从正态分布N（μ，a²），其中μ近似为平均数$\overrightarrow{x}$，a²近似为样本方差s²，利用该正态分布求P（64.5＜Z＜96）
附：$\sqrt{110}$≈10.5，若Z～N（μ，a²），则P（μ-?＜Z＜μ+?）=0.6826，P（μ-2?＜Z＜μ+2?）=0.9544．

分析（1）根据频率分布直方图，求出数据的平均数与方差；
（2）根据正态分布的概率特征，计算出P（64.5＜Z＜96）的值．

解答解：（1）根据频率分布直方图，得；
该植物样本高度的平均数是
$\overline{x}$=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，
方差是
s²=（55-75）²×0.1+（65-75）²×0.2+（75-75）²×0.35+（85-75）²×0.3+（95-75）²×0.05=110；
（2）由（1）知，Z～N（75，110），
从而P（64.5＜Z＜75）=$\frac{1}{2}$×P（75-10.5＜Z＜75+10.5）
=$\frac{1}{2}$×0.6826
=0.3413，
P（75＜Z＜96）=$\frac{1}{2}$×P（75-2×10.5＜Z＜75+2×10.5）
=$\frac{1}{2}$×0.9544
=0.4772；
∴P（64.5＜Z＜96）=P（64.5＜Z＜75）+P（75＜Z＜96）
=0.3413+0.4772
=0.8185．