题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，通项
满足
（
是常数， 
且
）.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设函数
， 
，是否存在正整数
，使
对
都成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）对
都成立的正整数
存在，其值为1,2,3.
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求数列
的通项公式；（2）根据等比数列前n项和公式得
，再证结论（3）先根据对数运算法则化简
，再利用裂项相消法求和： 
，根据数列单调性确定
最小值为2，即得
，所以
的值为1,2,3
试题解析：（Ⅰ）由题意
，得
所以
当
时， 
，所以
故数列
是以
为首项，公比为
的等比数列
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时， 
所以
（Ⅲ）因为
所以
所以
所以
欲使
，即
对
都成立
须有
而当
时， 
随
的增大而增大
所以
又
为正整数，所以
的值为1,2,3
故使
对
都成立的正整数
存在，其值为1,2,3.
【题目】韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．
(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
（2）请依上述支持率完成下表：
年龄分布 是否支持 | [30，40）和[40，50） | [50，60）和[60，70） | 合计 |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
附表：
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）
【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）现在从该地区非体育迷的电视观众中，采用分层抽样方法选取5名观众，求从这5名观众选取两人进行访谈，被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率．
附：
P（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
