题目内容
已知.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在处有极值,求的单调递增区间;
(3)是否存在实数,使在区间的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1);(2);(3).
解析试题分析:(1)考查了导数的几何意义,先求出切线的斜率,再用点斜式写方程;(2)由求得,得令结合函数的定义域求解即可;(3)首先假设存在实数满足题意,分三种情况研究函数的单调性寻找其最小值,是对函数单调性的考查.
试题解析:(1)由已知得的定义域为,
因为,所以当时,,所以,
因为,所以 2分
所以曲线在点处的切线方程为
即. 4分
(2)因为处有极值,所以,
由(1)知所以
经检验,时在处有极值. 6分
所以令解得;
因为的定义域为,所以的解集为,
即的单调递增区间为. 8分
(3)假设存在实数a,使有最小值3,
①当时,因为,
所以在上单调递减,
,解得(舍去) 10分
②当上单调递减,在上单调递增,
,满足条件. 12分
③当,
所以 上单调递减,,
解得,舍去.
综上,存在实数,使得当有最小值3. 14分
考点:1.导数的几何意义;2.切线方程;3.导数法研究函数单调性;3.函数的最值.
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