题目内容

已知.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若处有极值,求的单调递增区间;
(3)是否存在实数,使在区间的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

(1);(2);(3).

解析试题分析:(1)考查了导数的几何意义,先求出切线的斜率,再用点斜式写方程;(2)由求得,得结合函数的定义域求解即可;(3)首先假设存在实数满足题意,分三种情况研究函数的单调性寻找其最小值,是对函数单调性的考查.
试题解析:(1)由已知得的定义域为
因为,所以时,,所以
因为,所以                       2分
所以曲线在点处的切线方程为
.                          4分
(2)因为处有极值,所以
由(1)知所以
经检验,处有极值.                         6分
所以解得
因为的定义域为,所以的解集为
的单调递增区间为.                         8分
(3)假设存在实数a,使有最小值3,
①当时,因为
所以上单调递减,
,解得(舍去)                   10分
②当上单调递减,在上单调递增,
,满足条件.                  12分
③当
所以 上单调递减,
解得,舍去.
综上,存在实数,使得当有最小值3.             14分
考点:1.导数的几何意义;2.切线方程;3.导数法研究函数单调性;3.函数的最值.

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