Question

已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋ax.

(1)当x＝0时，函数f(x)取得极大值，求实数a的值；

(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，求实数a的取值范围；

(3)求函数f(x)的单调区间.

Answer 1

(1)f′(x)＝＋a

由f′(0)＝0，得a＝－1，此时f′(x)＝－1.

当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，

函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，

函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；

∴函数f(x)在x＝0处取得极大值，故a＝－1.

(2)∵f′(x)≥2x，∴＋a≥2x，∴a≥2x－.

令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，

∴g′(x)＝2＋>0，

∴g(x)在[1,2]上是增函数，

∴a≥g(1)＝.

(3)∵f′(x)＝＋a.

>0，

∴当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.

当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－－1；

当x∈(－1，－－1)时，f′(x)>0，

当x∈(－－1，＋∞)时，f′(x)<0；

综上，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)；

当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(－1，－－1)，单调递减区间是

(－－1，＋∞).