Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′(x)=

2x2+2x+a

x

，设g（x）=2x²+2x+a，由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1），即2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），令h（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+2x+alnx
∴f′(x)=

2x2+2x+a

x

（x＞0），
设g（x）=2x²+2x+a，则g（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′(x)=2-

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．